§1．はじめに
異なるものの順列や組合せ，重複順列に比べると，重複組合せは難しいと考える人もいるのではないでしょうか。
異なる \(n\) 個のものから重複を許して \(r\) 個取る組合せの総数は，次の式で表されます。 \[{}_{n+r-1} \mathrm{C}_r\] 教科書などでは，この公式を得る過程で 2 つの記号○と｜を使った考え方が紹介されることが多いでしょうが，説明が簡潔であるため，一読しただけではよくわかりませんでした。
そこで，もう少し掘り下げて，○と｜を使った信号で相手に情報を伝えると考えると納得できたので，その考え方を残しておきます。
§2．各組合せと「○と｜の配列」の対応
次の例題を通して考えてみましょう。
例題
3 種類の商品 A，B，C から重複を許して 6 個選んで買うとき，商品の組合せは何通りあるか。
組合せを考えているのですから，順序は問題ではありません。例えば，「AABCCC」も「BCACCA」も同じ「A が 2 個，B が 1 個，C が 3 個」という組合せです。重要なのは，A，B，C がそれぞれ何個ずつであるかという情報です。この情報を 2 つの記号○と｜の配列で伝える信号を作ります。
A，B，C の順に個数を伝えることにしましょう。
「A が 2 個，B が 1 個，C が 3 個」であることは，次のように表すことができます。
まず「A が 2 個」であることを伝えるため，
○○
と記号○を 2 個続けて並べます。次に「B が 1 個」であることを表すために○を並べたいところですが，
○○○
としてしまうと，A と B の個数の区別がつきません。そこで，A の個数を伝え終わったことをはっきりさせるため，2 個目の○の直後に記号｜を入れて
○○｜○
とします。さらに，B と C の区別をつける｜を並べて最後に○を 3 個続けて並べれば，
○○｜○｜○○○
となって，「A が 2 個，B が 1 個，C が 3 個」という情報を伝える信号ができあがります。
同様に考えると，
A 4 個，B 2 個，C 0 個 → ○○○○｜○○｜
A 5 個，B 0 個，C 1 個 → ○○○○○｜｜○
A 0 個，B 0 個，C 6 個 → ｜｜○○○○○○
と表すことができます。そして，1 つの○と｜の配列に対して，商品の組合せが必ず 1 つだけ対応します。
よって，商品の組合せの総数は，6 個の○と 2 個の｜を 1 列に並べる方法の総数に等しく，
\[{}_8 \mathrm{C}_6={}_8 \mathrm{C}_2=\frac{8 \cdot 7}{\;2 \cdot 1\;}=28\]
と計算することができます。
