準備
直線の方程式
異なる 2 点 \((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\) を通る直線の方程式を，単に \[y-y_1=\frac{\:y_2-y_1\:}{x_2-x_1}(x-x_1)\; \cdots\cdots\; ①\] としてはいけない。\(x_1=x_2\) のときは 0 で割ることになるからである。したがって，次のように場合分けが必要になる。
2 点 \((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\) を通る直線の方程式は \[x_1\ne x_2\; のとき\quad y-y_1=\frac{\:y_2-y_1\:}{x_2-x_1}(x-x_1)\\ x_1=x_2\; のとき\quad x=x_1\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\]
ここで，\(x_1\ne x_2\) のときの方程式①の分母をはらうと\[(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)\]すなわち\[(y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0\;\cdots\cdots\;②\]が得られる。上の方程式は，\(x_1=x_2\) の場合も表せている。異なる 2 点 \((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\) を考えているので，\(x_1=x_2\) のとき \(y_1\ne y_2\) であり，\(x=x_1\) が得られる。
よって，異なる 2 点 \((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\) を通る方程式は，\(x_1=x_2\) の場合も含めて②で表される。
原点を中心とする円の接線
まずは最も簡単な場合，中心が原点である円の接線を考える。
円 \(x^2+y^2=r^2\) を \(C_0\) とし，\(C_0\) 上の点 \(\mathrm{P_0}(x_0,y_0)\) における接線を \(l_0\) とする。
円の接線が，その接点を通る半径に垂直であることを利用する。
直線 \(\mathrm{OP_0}\) の方程式は \(y_0x-x_0y=0\) と表すことができるから，\(l_0\) の方程式は \[-x_0(x-x_0)-y_0(y-y_0)=0\] すなわち \(x_0x+y_0y={x_0}^2+{y_0}^2\)
点 \(\mathrm{P_0}(x_0,y_0)\) は 円 \(C_0\) 上の点であるから \({x_0}^2+{y_0}^2=r^2\)
よって，\(l_0\) の方程式は \(x_0x+y_0y=r^2\)
まとめると，次のようになる。
円 \(x^2+y^2=r^2\) 上の点 \(x_0,y_0\) におけるこの円の接線の方程式は
\[x_0x+y_0y=r^2\;\cdots\cdots\;③\]
より一般的な場合
次に，円の中心が点 \((a,b)\) である場合を考える。
円 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 上の点 \((x_0,y_0)\) におけるこの円の接線の方程式は\[(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\]
点 \((a,b)\) が原点に移るように，円と接点を平行移動する。すなわち，円と接点を，\(x\) 軸方向に \(-a\)，\(y\) 軸方向に \(-b\) だけそれぞれ平行移動する。
このとき，円 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) は 円 \(x^2+y^2=r^2\) に，点 \((x_0,y_0)\) は点 \((x_0-a,y_0-b)\) に移る。
いま求めたい接線は，上の平行移動によって
円 \(x^2+y^2=r\) 上の点 \((x_0-a,y_0-b)\) におけるこの円の接線
に重なる。その方程式は③を用いて\[(x_0-a)x+(y_0-b)y=r^2\;\cdots\cdots\;④\]
この直線を \(x\) 軸方向に \(a\)，\(y\) 軸方向に \(b\) だけ平行移動して得られる直線が，求めたい接線である。その方程式は，方程式④で \(x\) を \(x-a\) に，\(y\) を \(y-b\) におきかえて\[(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\]
