2直線の交点を通る直線

方程式\(\;y-y_1=m(x-x_1)\;\cdots\cdots\;①\;\)は，点\(\;(x_1,\,y_1)\;\)を通り，傾きが\(\;m\;\)の直線を表す。いうまでもなく，点\(\;(x_1,\,y_1)\;\)は 2 直線\(\;x=x_1,\,y=y_1\;\)の交点である。①はこれら 2 直線の交点を通る傾き\(\;m\;\)の直線を表すといえる。

では，一般に，2 直線が交点をもつとき，その交点を通る直線を（交点を求めることなく）表す方法はないであろうか。

§1．直線が通る定点

次の問題を考えてみよう。

定点を通ることはわかっているので，その座標を \((p,q)\) とすると，\(x=p\)，\(y=q\) は②を満たす。よって，問題文は次のように言い換えられる。

等式 \((k+2)p+(-3k+1)q-k-5=0\:\cdots\cdots\:③\) が \(k\) の値に関係なく成り立つような \(p\)，\(q\) の値を求めよ。

これは，③の \(k\) にどんな値を代入しても成り立つ，すなわち，③が \(k\) についての恒等式になるような \(p\)，\(q\) の値を求める問題であるから，③を \(k\) について整理すると\[(p-3q-1)k+(2p+q-5)=0\]
これが \(k\) についての恒等式となるための条件は\[p-3q-1=0,\qquad 2p+q-5=0\]が同時に成り立つことであるが，これらを連立して解いて得られる実数の組 \((p,q)\) は，2 直線 \(x-3y-1=0\)， \(2x+y-5=0\) の交点の座標を表す。

§2．2直線の交点を通る直線

本題に入る。

当然ながら，2 直線の交点を求める方法でもよい。交点の座標は\(\;\Big(\displaystyle \frac{\;10\;}{11},\,\frac{\;8\;}{11}\Big)\;\)である。

また，\(k(2x+3y-4)+x-4y+2=0\;\)としても，同じ結果が得られる。

④ は 2 直線の交点を通る直線すべてを表すか？

点\(\;(1,\,2)\;\)のように，直線\(\;x-4y+2=0\;\)にない点を通るとき，\(x-4y+2\neq0\;\)であるから，④は\(\;k\;\)についての 1 次方程式となり，④を満たす\(\;k\;\)が存在する。

一方で，④に例えば\(\;x=2\;\)，\(\;y=1\;\)を代入すると\(\;3+k\cdot 0=0\;\)となり，これを満たす\(\;k\;\)は存在しないから，2 直線の交点と点\(\;(2,\,1)\;\)を通る直線，すなわち直線\(\;x-4y+2=0\;\)は，④で表すことができない。

また，\(k(2x+3y-4)+x-4y+2=0\;\)とした場合は，同じように考えて，直線\(\;2x+3y-4=0\;\)を表すことができない。

ただ，神経質になる必要はないと思う。求める直線が 2 直線のどちらかである，というような，意地の悪いあるいは意味のない問題が出ることは，おそらくないであろう。

§3．補足

一般に，2 直線\(\;a_1 x+b_1 y+c_1=0\;\)，\(a_2 x+b_2 y+c_2=0\;\)が交わるとき，方程式\[k(a_1 x+b_1 y+c_1)+a_2 x+b_2 y+c_2=0\;\cdots\cdots\;⑤\]は，これら ２ 直線の交点を通る直線を表す。ただし，\(a_1 x+b_1 y+c_1=0\;\)を除く。

このことを確かめてみよう。

2 直線の交点の\(\;x\;\)座標，\(y\;\)座標をそれぞれ⑤に代入すると成り立つという点は，もはや説明不要だろう。

⑤を\(\;x\;\)，\(y\;\)について整理すると\[(ka_1+a_2)x+(kb_1+b_2)y+c_1+c_2=0\]である。これが直線を表すための条件は

\(ka_1+a_2\neq0\qquad \)または\(\qquad kb_1+b_2\neq0\;\cdots\cdots\;Ⓐ\)

である。

ここで，\(ka_1+a_2=kb_1+b_2=0\;\)とすると，\(a_2=-ka_1\;\)，\(b_2=-kb_1\;\)であるから\[a_1 b_2-a_2 b_1=a_1\cdot (-kb_1)-(-ka_1)\cdot b_1=-ka_1 b_1+ka_1 b_1=0\]が成り立ち，2 直線が平行であるということになってしまう。

よってⒶがいえるから，⑤は 2 直線の交点を通る直線を表す。